Question

【題目】動點在拋物線上，過點作垂直于軸，垂足為，設.

（Ⅰ）求點的軌跡的方程；

（Ⅱ）設點，過點的直線交軌跡于兩點，直線的斜率分別為，求的最小值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）； （Ⅱ）1

【解析】

試題分析：（Ⅰ）考慮點和點的關系，設點，由可把用表示出來，再把代入已知拋物線方程即得； （Ⅱ）分析題意知直線斜率存在，設方程為，設點， 由直線方程與曲線方程聯立方程組，消去得的一元二次方程，則可得，當過點時，不妨設，則可以看作是曲線在A點處切線的斜率，則可計算出，當不過點時，計算，最后計算，交把代入得到關于的函數，可求得最小值．

試題解析：（Ⅰ）設點，則由得，因為點在拋物線上，

（Ⅱ）方法一：由已知，直線的斜率一定存在，設點，設方程為，

聯立得

由韋達定理得

（1）當直線經過點即或時，當時，直線的斜率看作拋物線在點處的切線斜率，則，此時；當時，同理可得.

（2）當直線不經過點即且時，，

所以的最小值為.

方法二：同上

故，所以的最小值為

方法三：設點，由直線過點交軌跡于兩點得：

化簡整理得：

，令，則