Question

【題目】設(shè)函數(shù)，若存在（其中）

（1）求實數(shù)的取值范圍，

（2）證明：.

Answer 1

【答案】（1）（2）詳見解析

【解析】

（1）先利用導(dǎo)數(shù)的符號討論函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)題設(shè)條件可得函數(shù)的最大值為正，再分和兩種情況討論，前者無兩個不同的零點，后者可利用零點存在定理證明函數(shù)有兩個零點.

（2）根據(jù)（1）可把要證明的不等式轉(zhuǎn)化為證明，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及可把前者轉(zhuǎn)為， 構(gòu)建新函數(shù)可證明該不等式.

解：（1）令，則

時，時；當(dāng)，，

在遞增，遞減，且，

由題設(shè)，有兩個不同的零點，故即.

若，則當(dāng)時，，故在無零點；

而在遞增，故在上至多有一個零點，故不符合；

若，則，，

考慮，因為，故，

為上的增函數(shù)，故即，

因在遞增，遞減，且，結(jié)合零點存在定理可知有兩個不同的零點，故.

（2）由（1）知：，

要證：成立，只需證：，

在遞增，故只需證：

即證.

只需證：，即證：.

令，

在上單調(diào)遞減,.證畢