Question

f（x）是定義在D上的函數(shù)，若存在區(qū)間[m，n]⊆D，使函數(shù)f（x）在[m，n]上的值域恰為[km，kn]，則稱函數(shù)f（x）是k型函數(shù)．給出下列說法：
①f(x)=3-

4

x

不可能是k型函數(shù)；
②若函數(shù)y=

(a2+a)x-1

a2x

(a≠0)是1型函數(shù)，則n-m的最大值為

2 3

3

；
③若函數(shù)y=-

1

2

x2+x是3型函數(shù)，則m=-4，n=0；
④設(shè)函數(shù)f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函數(shù)，則k的最小值為

4

9

．
其中正確的說法為

 

．（填入所有正確說法的序號）

Answer 1

分析：根據(jù)題目中的新定義，結(jié)合函數(shù)與方程的知識，逐一判定命題①②③④是否正確，從而確定正確的答案．

解答：解：①中，f（x）的定義域是{x|x≠0}，且f（2）=3-

4

2

=1，f（4）=3-

4

4

=2，∴f（x）在[2，4]上的值域是[1，2]，∴f（x）是

1

2

型函數(shù)，∴命題錯誤；
②中，y=

(a2+a)x-1

a2x

（a≠0）是1型函數(shù)，即（a²+a）x-1=a²x²，∴a²x²-（a²+a）x+1=0，
∴方程的兩根之差x₁-x₂=

(a+1)2 a2 - 4 a2

=

1+ 2 a - 3 a2

≤

2 3

3

，即n-m的最大值為

2 3

3

；∴命題正確；
③中，y=-

1

2

x²+x是3型函數(shù)，即-

1

2

x²+x=3x，解得x=0，或x=-4，∴m=-4，n=0；∴命題正確；
④中，f（x）=x³+2x²+x（x≤0）是k型函數(shù)，則x³+2x²+x=kx有二負(fù)實數(shù)根，∴0＜k＜1，∴命題錯誤；
∴正確的命題是②③；
故答案為：②③．

點評：本題考查了在新定義下函數(shù)的定義域、值域問題以及解方程的問題，是易錯題．