Question

設f（x）是定義在D上的函數，若對D中的任意兩數x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（

1

3

x1+

2

3

x2）＜

1

3

f(x1)+

2

3

f(x2)，則稱f（x）為定義在D上的C函數．
（Ⅰ）試判斷函數f（x）=x²是否為定義域上的C函數，并說明理由；
（Ⅱ）若函數f（x）是R上的奇函數，試證明f（x）不是R上的C函數；
（Ⅲ）設f（x）是定義在D上的函數，若對任何實數a∈[0，1]以及D中的任意兩數x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（ax₁+（1-a）x₂）≤af（x₁）+（1-a）f（x₂），則稱f（x）為定義在D 上的π函數．已知f（x）是R上的m函數．m是給定的正整數，設a_n=f（n），n=0，1，2，…m，且a₀=0，a_m=2m，記S_f=a₁+a₂+…+a_m．對于滿足條件的任意函數f（x），試求S_f的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據C函數定義，對D中的任意兩數x₁，x₂（x₁≠x₂），恒有f（

1

3

x1+

2

3

x2）＜

1

3

f(x1)+

2

3

f(x2)，可用作差法證明f（x）=x²是否為定義域上的C函數；
（Ⅱ）利用特殊值發進行判斷，只要有一個點不滿足即可；
（Ⅲ）對任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]利用α-β函數的概念求得a_n=2n，從而轉化為等差數列的求和問題；

解答：（Ⅰ））解：∵f（

1

3

x₁+

2

3

x₂）-[

1

3

f（x₁）+

2

3

f（x₂）]=（

1

3

x₁+

2

3

x₂）²-（

1

3

x12+

2

3

x22）=-

2

9

x12-

2

9

x22+

4

9

x₁x₂=-

2

9

(x1-x2)2＜0，
∴對定義域中的任意兩數x₁，x₂恒有f（

1

3

x₁+

2

3

x₂）＜

1

3

f（x₁）+

2

3

f（x₂）成立，
∴f（x）=x²是其定義域上的C函數；
（Ⅱ）證明：∵f（x）是定義在R上的奇函數，
∴f（0）=0，
∴令x₁=x，x₂=-x，代入有f[

1

3

×x+

2

3

（-x）]＜

1

3

f（x）+

2

3

f（-x），即f（

1

3

x）＞

1

3

f（x）；
令x₁=-x，x₂=x，代入有f[

1

3

×（-x）+

2

3

（x）]＜

1

3

f（-x）+

2

3

f（x），即f（

1

3

x）＜

1

3

f（x）；
兩式矛盾，即f（x）不是定義在R上的C函數；
∴f（x）不是定義在R上的C函數．
（Ⅲ）對任意0≤n≤m，取x₁=m，x₂=0，α=

n

m

∈[0，1]，
∵f（x）是R上的π函數，a_n=f（n），且a₀=0，a_m=2m，
∴a_n=f（n）=f（αx₁+（1-α）x₂）≤αf（x₁）+（1-α）f（x₂）=

n

m

×2m=2n；
那么S_f=a₁+a₂+…+a_m≤2×（1+2+…+m）=m²+m．
可知f（x）=2x是π函數，且使得a_n=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此時S_f=m²+m．
綜上所述，S_f的最大值為m²+m．

點評：本題考查函數的概念、最值及數列的求和，難點在于通過對π函數的理解轉化為數列求和問題，屬于難題．