Question

已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線方程是y=±

1

2

x．過點P（-4，0）作斜率為

1

4

的直線l，使得l和G交于A，B兩點，和y軸交于點C，點P在線段AB上，并且滿足|PA|•|PB|=|PC|²，求雙曲線G的方程．

Answer 1

分析：先根據漸近線方程設出雙曲線的方程為x²-4y²=λ，再求出直線l的方程代入雙曲線方程，得x₁+x₂，x₁x₂，最后將|PA|•|PB|=|PC|²等價為（x₁+4）•（x₂+4）+y₁y₂=-17，列方程求出λ即可

解答：解：設所求雙曲線方程為（x+2y）（x-2y）=λ，即x²-4y²=λ  （λ≠0）
∵直線l點P（-4，0）作斜率為

1

4

，∴直線方程為y=

1

4

x+1，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）C（0，1），∴

PA

=（x₁+4，y₁），

PB

=（x₂+4，y₂）
聯立直線方程與雙曲線方程，

y= 1 4 x+1 x2-4y2=λ

，3x²-8x-16-4λ=0
得，x₁+x₂=

8

3

，x₁x₂=

-16-4λ

3

  ①
∵|PA|•|PB|=|PC|²，∴

PA

•

PB

=-17
即（x₁+4）•（x₂+4）+y₁y₂=-17
即（x₁+4）•（x₂+4）+（

1

4

x₁+1）•（

1

4

x₂+1）=-17
即x₁x₂+4（x₁+x₂）=-32   ②
將①代入②解得λ=28
故雙曲線方程為x²-4y²=28

點評：本題考查了雙曲線的幾何性質，雙曲線的標準方程，直線與雙曲線的關系等知識，解題時要學會運用待定系數法求標準方程，學會運用韋達定理解決問題．