Question

已知雙曲線G的中心在原點，它的漸近線與圓x²+y²-10x+20=0相切．過點P（-4，0）作斜率為

1

4

的直線l，使得l和G交于A，B兩點，和y軸交于點C，并且點P在線段AB上，又滿足|PA|•|PB|=|PC|²．
（1）求雙曲線G的漸近線的方程；
（2）求雙曲線G的方程；
（3）橢圓S的中心在原點，它的短軸是G的實軸．如果S中垂直于l的平行弦的中點的軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分，求橢圓S的方程．

Answer 1

分析：（1）利用直線與圓相切時對應的圓心到直線的距離等于半徑即可求雙曲線G的漸近線的方程；
（2）利用漸近線設出雙曲線G的方程，把直線l的方程與雙曲線G的方程聯立求出A，B兩點的坐標之間的關系式，再利用|PA|•|PB|=|PC|²．即可求出雙曲線G的方程；
（3）利用條件先設橢圓S的方程

x2

28

+

y2

a2

=1（a＞2

7

），再設垂直于l的平行弦的兩端點以及中點的坐標，把兩端點坐標代入橢圓S的方程方程，用點差法求出中點所在軌跡，再與題中條件相結合即可求橢圓S的方程．

解答：解：（1）設雙曲線G的漸近線的方程為y=kx，
則由漸近線與圓x²+y²-10x+20=0相切可得

|5k|

k2+1

=

5

，
所以k=±

1

2

，即雙曲線G的漸近線的方程為y=±

1

2

x．（3分）
（2）由（1）可設雙曲線G的方程為x²-4y²=m，
把直線l的方程y=

1

4

（x+4）代入雙曲線方程，
整理得3x²-8x-16-4m=0，
則x_A+x_B=

8

3

，x_Ax_B=-

16+4m

3

．（*）
∵|PA|•|PB|=|PC|²，P、A、B、C共線且P在線段AB上，
∴（x_P-x_A）（x_B-x_P）=（x_P-x_C）²，即（x_B+4）（-4-x_A）=16，
整理得4（x_A+x_B）+x_Ax_B+32=0．
將（*）代入上式得m=28，
∴雙曲線的方程為

x2

28

-

y2

7

=1．（8分）
（3）由題可設橢圓S的方程為

x2

28

+

y2

a2

=1（a＞2

7

），
設垂直于l的平行弦的兩端點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點為P（x₀，y₀），
則

x 2 1

28

+

y   2 1

a2

=1，

x   2 2

28

+

y 2 2

a2

=1，
兩式作差得

(x1-x2)(x1+x2)

28

+

(y1-y2)(y1+y2)

a2

=0．
由于

y1-y2

x1-x2

=-4，x₁+x₂=2x₀，y₁+y₂=2y₀，
所以

x0

28

-

4y0

a2

=0，
所以，垂直于l的平行弦中點的軌跡為直線

x

28

-

4y

a2

=0截在橢圓S內的部分．
又由已知，這個軌跡恰好是G的漸近線截在S內的部分，所以

a2

112

=

1

2

，即a²=56，
故橢圓S的方程為

x2

28

+

y2

56

=1．（13分）

點評：本題涉及到雙曲線標準方程的求法問題．因為雙曲線的標準方程有兩種形式，所以在設方程之前一定要先看焦點所在位置．