Question

已知定義域為[0，1]的函數同時滿足以下三個條件：①對任意x∈[0，1]，總有f（x）≥0；②f（1）=1；③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．
（1）求f（0）的值；
（2）函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上是否同時適合①②③？并予以證明；
（3）假定存在x₀∈[0，1]，使得f（x₀）∈[0，1]，且f（f（x₀））=x₀，求證：f（x₀）=x₀．

Answer 1

（1）由①知：f（0）≥0；由③知：f（0+0）≥f（0）+f（0），即f（0）≤0；
∴f（0）=0
（2 ） 證明：由題設知：g（1）=2-1=1；
由x∈[0，1]知2^x∈[1，2]，得g（x）∈[0，1]，有g（x）≥0；
設x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則2x1≥1，2x2≥1；
∴g(x1+x2)-[g(x1)+g(x2)]=(2x1+x2-1)-[(2x1-1)+(2x2-1)]=(2x1-1)(2x2-1)≥0
即g（x₁+x₂）≥g（x₁）+g（x₂）
∴函數g（x）=2^x-1在區間[0，1]上同時適合①②③．
（3）證明：若f（x₀）＞x₀，則由題設知：f（x₀）-x₀∈[0，1]，且由①知f[f（x₀）-x₀]≥0，
∴由題設及③知：x₀=f（f（x₀））=f[（f（x₀）-x₀）+x₀]=f[f（x₀）-x₀]+f（x₀）≥f（x₀）
矛盾；
若f（x₀）＜x₀，則則由題設知：x₀-f（x₀）∈[0，1]，且由①知f[x₀-f（x₀）]≥0，
∴同理得：f（x₀）=f[（x₀-f（x₀））+f（x₀）]=f[x₀-f（x₀）]+f（f（x₀））≥f（f（x₀））=x₀，矛盾；
故由上述知：f（x₀）=x₀．