Question

已知定義域為[0，1]的函數f（x）同時滿足：
①對于任意的x∈[0，1]，總有f（x）≥0；
②f（1）=1；
③若x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1，則有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（0）的值；
（2）求f（x）的最大值；
（3）若對于任意x∈[0，1]，總有4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）令x₁=x₂=0代入即可得答案．
（2）用定義確定函數f（x）是[0，1]上的增函數，所以當x=1時函數f（x）去最大值．
（3）先根據f（x）的單調性確定f（x）的取值范圍，再用分離參數的方法將a表示出來后用基本不等式求實數a的范圍．

解答：解：（1）對于條件③，令x₁=x₂=0，得f（0）≤0．
又由條件①知f（0）≥0，∴f（0）=0．
（2）設0≤x₁＜x₂≤1，則x₂-x₁∈（0，1]，
∴f（x₂）-f（x₁）=f（（x₂-x₁）+x₁）-f（x₁）≥f（x₂-x₁）+f（x₁）-f（x₁）=f（x₂-x₁）≥0，
即f（x₂）≥f（x₁）．
故f（x）在[0，1]上是單調遞增的，
從而f（x）的最大值是f（1）=1．
（3）∵f（x）在x∈[0，1]上是增函數，
∴f（x）∈[0，1]．
又∵4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a≥0，
∴4f²（x）-8f（x）+5≥4a[1-f（x）]．
當f（x）≠1時，a≤

4f2(x)-8f(x)+5

4[1-f(x)]

．
令y=

4f2(x)-8f(x)+5

4[1-f(x)]

=

4[1-f(x)]2+1

4[1-f(x)]

=1-f（x）+

1

4[1-f(x)]

≥1，
∴a≤1．
當f（x）=1時，4f²（x）-4（2-a）f（x）+5-4a=4-4（2-a）+5-4a=4-8+4a+5-4a=1≥0恒成立，
∴a≤1．

點評：本題主要考查抽象函數的單調性以及基本不等式的有關問題．用基本不等式時注意其要等號成立時要滿足的條件．