Question

【題目】已知橢圓E： + =1（a＞b＞0）經過點（﹣1， ），其離心率e= ．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設動直線l：y=kx+m與橢圓C相切，切點為T，且l與直線x=﹣4相交于點S．
試問：在x軸上是否存在一定點，使得以ST為直徑的圓恒過該定點？若存在，求出該點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由點（1， ）在橢圓上得，代入橢圓方程： ，①﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
橢圓的離心率e= = ，則a=2c，a2=4c2 ， b2=3c2 ， ②
②代入①解得c2=1，a2=4，b2=3，
故橢圓C的標準方程為 ；
（Ⅱ）由 ，消去y，整理得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0；
因為動直線l與橢圓C相切，即它們有且只有一個公共點T，可設T（x0 ， y0），
m≠0，△=0，∴（8km）2﹣4×（4k2+3）×（4m2﹣12）=0，
∴4k2﹣m2+3=0，③﹣﹣﹣﹣
此時，x0= =﹣ =﹣ ，y0=kx0+m= ，則T（﹣ ， ）．由 ，得S（4，4k+m）．假設平面內存在定點滿足條件，不妨設為點A．
由圖形對稱性知，點A必在x軸上．設A（x1 ， 0），則由已知條件知AS⊥AT，
即 =0對滿足③式的m，k恒成立．由 =（4﹣x1 ， 4k+m）， =（﹣ ﹣x1 ， ），由 =0得：﹣ + ﹣4x1+x12+ +3=0，
整理得（4x1﹣4） +x12﹣4x1+3=0，④由②式對滿足①式的m，k恒成立，則 ，解得x1=1．
故平面內存在定點（1，0），使得以ST為直徑的圓恒過該定點．
【解析】（Ⅰ）由題意可知：將點代入橢圓方程，利用橢圓的離心率公式即可求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（Ⅱ）將直線方程代入橢圓方程，由△=0，求得4k2﹣m2+3=0，利用韋達定理及中點坐標公式，求得T點坐標，聯立即可求得S點坐標，由 =0，根據向量數量積的坐標運算，可得 ，即可求得A點坐標，即可求得以ST為直徑的圓恒過該定點（1，0）．