【題目】如圖，在四棱柱
中， 
平面
， 
， 
， 
， 
， 
為
的中點.
（Ⅰ）求四棱錐
的體積；
（Ⅱ）設點
在線段
上，且直線
與平面
所成角的正弦值為
，求線段
的長度；
（Ⅲ）判斷線段
上是否存在一點
，使得
？（結論不要求證明）
【答案】（Ⅰ）1（Ⅱ）
（Ⅲ）見解析
【解析】試題分析：（Ⅰ）易證得
平面
，利用
求解即可；
（Ⅱ）分別以
， 
， 
所在直線為
軸， 
軸， 
軸，如圖建立空間直角坐標系，求出平面
的一個法向量為
，設
，由
求解即可；
（Ⅲ）易得對于線段
上任意一點
，直線
與直線
都不平行.
試題解析：
（Ⅰ）因為
平面
， 
平面
，
所以
.
又因為
， 
，
所以
平面
.
因為
，
所以四棱錐
的體積
.
（Ⅱ）由
平面
， 
，可得
， 
， 
兩兩垂直，所以分別以
， 
， 
所在直線為
軸， 
軸， 
軸，如圖建立空間直角坐標系，
則
， 
， 
， 
， 
.
所以
， 
， 
， 
.
設平面
的一個法向量為
，
由
， 
，得
令
，得
.
設
，其中
，
則
，
記直線
與平面
所成角為
，
則
，
解得
（舍），或
.
所以
，
故線段
的長度為
.
（Ⅲ）對于線段
上任意一點
，直線
與直線
都不平行.
計算高手系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2015年我國將加快階梯水價推行，原則是“保基本、建機制、促節約”，其中“保基本”是指保證至少80%的居民用戶用水價格不變．為響應國家政策，制定合理的階梯用水價格，某城市采用簡單隨機抽樣的方法分別從郊區和城區抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進行調研，抽取的數據的莖葉圖如下（單位：噸）：
（1）在郊區的這5戶居民中隨機抽取2戶，求其年人均用水量都不超過30噸的概率；
（2）設該城市郊區和城區的居民戶數比為
，現將年人均用水量不超過30噸的用戶定義為第一階梯用戶，并保證這一梯次的居民用戶用水價格保持不變．試根據樣本估計總體的思想，分析此方案是否符合國家“保基本”政策．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
： 
的離心率為
，且過點
， 
， 
是橢圓
上異于長軸端點的兩點.
（1）求橢圓
的方程；
（2）已知直線
： 
，且
，垂足為
， 
，垂足為
，若
，且
的面積是
面積的5倍，求
面積的最大值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知 
cosB+ 
cosA= 
（I）求∠C的大小；
（II）求sinB﹣ 
sinA的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓E： 
+ 
=1（a＞b＞0）經過點（﹣1， 
），其離心率e= 
．
（Ⅰ）求橢圓E的方程；
（Ⅱ）設動直線l：y=kx+m與橢圓C相切，切點為T，且l與直線x=﹣4相交于點S．
試問：在x軸上是否存在一定點，使得以ST為直徑的圓恒過該定點？若存在，求出該點的坐標；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知實數x，y滿足 
，若目標函數z=﹣mx+y的最大值為﹣2m+10，最小值為﹣2m﹣2，則實數m的取值范圍是（ ）
A.[﹣1，2]
B.[﹣2，1]
C.[2，3]
D.[﹣1，3]
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某小組共10人，利用假期參加義工活動，已知參加義工活動次數為1,2,3的人數分別為3,3,4,. 現從這10人中隨機選出2人作為該組代表參加座談會.
（1）設A為事件“選出的2人參加義工活動次數之和為4”，求事件A發生的概率；
（2）設 
為選出的2人參加義工活動次數之差的絕對值，求隨機變量 的分布列和數學期望.
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