Question

設函數f(x)在定義域R上總有f(x)＝－f(x＋2)，且當－1<x≤1時，f(x)＝x²＋2.

(1)當3<x≤5時，求函數f(x)的解析式；

(2)判斷函數f(x)在(3,5]上的單調性，并予以證明．

Answer 1

 [解析]　(1)∵f(x)＝－f(x＋2)，

∴f(x＋2)＝－f(x)．

∴f(x)＝f[(x－2)＋2]＝－f(x－2)＝－f[(x－4)＋2]＝f(x－4)．

∵－1<x≤1時，f(x)＝x²＋2，

又∵當3<x≤5時，－1<x－4≤1，

∴f(x－4)＝(x－4)²＋2.

∴當3<x≤5時，f(x)＝(x－4)²＋2.

(2)∵函數f(x)＝(x－4)²＋2的對稱軸是x＝4，

∴函數f(x)＝(x－4)²＋2在(3,4]上單調遞減，在[4,5]上單調遞增．

證明：任取x₁，x₂∈(3,4]，且x₁<x₂，有

f(x₁)－f(x₂)

＝[(x₁－4)²＋2]－[(x₂－4)²＋2]

＝(x₁－x₂)(x₁＋x₂－8)．

∵3<x₁<x₂≤4，

∴x₁－x₂<0，x₁＋x₂－8<0.

∴f(x₁)－f(x₂)>0，即f(x₁)>f(x₂)．

故函數y＝f(x)在(3,4]上單調遞減．

同理可證函數在[4,5]上單調遞增．