Question

如圖直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=CC₁=2，AB=BC，D是BA₁上一點，且AD⊥平面A₁BC．
（1）求證：BC⊥平面ABB₁A₁；
（2）求三棱錐A-BCD的體積．

Answer 1

證明：（Ⅰ）∵AD⊥平面A₁BC，BC⊆平面A₁BC，∴AD⊥BC．
∵ABC-A₁B₁C₁是直三棱柱，
∴AA₁⊥平面ABC，可得AA₁⊥BC．…（3分）
∵AD∩AA₁=A，AD、AA₁⊆平面ABB₁A₁，
∴BC⊥平面ABB₁A₁．…（6分）
（Ⅱ）∵BC⊥平面ABB₁A₁，∴BC⊥AB．
∵AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形，且斜邊AC=2，AB=BC=，
∴直角三角形AA₁B斜邊上的高，
根據射影定理，得
∴三棱錐A-BCD的體積V_A-BCD=V_B-ACD=S_△ACD×BD=וAD•DC•BD=…（12分）
分析：（I）由直三棱柱的性質，可得AA₁⊥BC，由AD⊥平面A₁BC，得AD⊥BC，結合線面垂直的判定定理，可得BC⊥平面ABB₁A₁．
（II）由（I）得BC⊥AB，結合已知條件得△ABC是斜邊AC=2的等腰直角三角形，然后在Rt△AA₁B中，算出斜邊上的高AD的長，根據射影定理算出BD的長，從而得到三角形BCD的面積，最后用錐體體積公式，可以算出三棱錐A-BCD的體積，即得三棱錐A-BCD的體積．
點評：本題給出特殊的三棱柱，求證線面垂直并且求三棱錐的體積，著重考查了直線與平面垂直的判定與性質和錐體體積公式等知識，屬于基礎題．