Question

如圖，四棱柱ABCD—A₁B₁C₁D₁中，側棱A₁A⊥底面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，AD＝CD＝1，AA₁＝AB＝2，E為棱AA₁的中點．

(1)證明B₁C₁⊥CE；
(2)求二面角B₁­CE­C₁的正弦值；
(3)設點M在線段C₁E上，且直線AM與平面ADD₁A₁所成角的正弦值為，求線段AM的長．

Answer 1

（1）見解析  （2）  （3）

如圖，以點A為原點，以AD，AA₁，AB所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，依題意得A(0,0,0)，B(0,0,2)，C(1,0,1)，B₁(0,2,2)，C₁(1,2,1)，E(0,1,0)．
(1)證明：易得＝(1,0，－1)，＝(－1,1－1)，于是·＝0，所以B₁C₁⊥CE.
(2)＝(1，－2，－1)．
設平面B₁CE的法向量m＝(x，y，z)，
則，即消去x，得y＋2z＝0，
不妨令z＝1，可得一個法向量為m＝(－3，－2,1)．
由(1)知，B₁C₁⊥CE，又CC₁⊥B₁C₁，
可得B₁C₁⊥平面CEC₁，
故＝(1,0，－1)為平面CEC₁的一個法向量．
于是cos〈m，〉＝＝＝，從而sin〈m，〉＝.
所以二面角B₁—CE—C₁的正弦值為.
(3)＝(0,1,0)，＝(1,1,1)．
設＝λ＝(λ，λ，λ)，0≤λ≤1，有＝＋＝(λ，λ＋1，λ)．
可取＝(0,0,2)為平面ADD₁A₁的一個法向量．
設θ為直線AM與平面ADD₁A₁所成的角，則
sin θ＝|cos〈，〉|＝
＝＝，
于是＝，解得λ＝(負值舍去)，
所以AM＝.