Question

（2013•惠州模擬）某校從高一年級學生中隨機抽取40名學生，將他們的期中考試數學成績（滿分100分，成績均為不低于40分的整數）分成六段：[40，50），[50，60），…，[90，100]后得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（1）求圖中實數a的值；
（2）若該校高一年級共有學生640人，試估計該校高一年級期中考試數學成績不低于60分的人數；
（3）若從數學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，求這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的概率．

Answer 1

分析：（1）根據圖中所有小矩形的面積之和等于1建立關于a的等式，解之即可求出所求；
（2）根據頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率，然后根據頻數=頻率×總數可求出所求；
（3）成績在[40，50）分數段內的人數，以及成績在[90，100]分數段內的人數，列出所有的基本事件，以及兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10的基本事件，最后利用古典概型的概率公式解之即可．

解答：（1）解：由于圖中所有小矩形的面積之和等于1，
所以10×（0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01）=1．…（1分）
解得a=0.03．…（2分）
（2）解：根據頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1-10×（0.005+0.01）=0.85．…（3分）
由于該校高一年級共有學生640人，利用樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級數學成績不低于60分的人數約為640×0.85=544人． …（5分）
（3）解：成績在[40，50）分數段內的人數為40×0.05=2人，分別記為A，B．…（6分）
成績在[90，100]分數段內的人數為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F．…（7分）
若從數學成績在[40，50）與[90，100]兩個分數段內的學生中隨機選取兩名學生，則所有的基本事件有：（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（A，F），（B，C），（B，D），（B，E），（B，F），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共15種．…（9分）
如果兩名學生的數學成績都在[40，50）分數段內或都在[90，100]分數段內，那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定不大于10．如果一個成績在[40，50）分數段內，另一個成績在[90，100]分數段內，那么這兩名學生的數學成績之差的絕對值一定大于10．
記“這兩名學生的數學成績之差的絕對值不大于10”為事件M，則事件M包含的基本事件有：（A，B），（C，D），（C，E），（C，F），（D，E），（D，F），（E，F）共7種．…（11分）
所以所求概率為P(M)=

7

15

．…（12分）

點評：本小題主要考查頻率、頻數、統計和概率等知識，考查數形結合、化歸與轉化的數學思想方法，以及運算求解能力．