【題目】過橢圓
： 
上一點
向
軸作垂線，垂足為右焦點
， 
、
分別為橢圓
的左頂點和上頂點，且
， 
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）若動直線
與橢圓
交于
、
兩點，且以
為直徑的圓恒過坐標原點
.問是否存在一個定圓與動直線
總相切.若存在，求出該定圓的方程；若不存在，請說明理由.
【答案】（1）
（2）存在
【解析】試題分析：（1）由
得
，解得
， 
，，結合
，即可求橢圓
的方程；（2）先求得直線
的斜率不存在及斜率為零時圓的方程，由此可得兩圓所過公共點為原點
，當直線
的斜率存在且不為零時，設直線
的方程為
代入橢圓方程消掉
得
的二次方程，設
，由韋達定理、向量數量積可得
的表達式，再根據線圓相切可得
的關系式，代入上述表達式可求得
，由此可得結論.
試題解析：（1）由題意得
，所以
， 
.由
得
，解得
， 
，
由
，得
， 
，橢圓
的方程為
.
（2）假設存在這樣的圓.設
， 
.
由已知，以
為直徑的圓恒過原點
，即
，所以
.
當直線
垂直于
軸時， 
， 
，所以
，又
，解得
，
不妨設
， 
或
， 
，即直線
的方程為
或
，此時原點
到直線
的距離為
.
當直線
的斜率存在時，可設直線
的方程為
，解
消去
得方程：
，因為直線
與橢圓
交于
， 
兩點，所以方程的判別式
，即
，且
， 
.
由
，得
，
所以
，整理得
（滿足
）.
所以原點
到直線
的距離
.綜上所述，原點
到直線
的距離為定值
，即存在定圓
總與直線
相切.
沖刺100分1號卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】設命題
是
的必要而不充分條件；
設命題
實數
滿足方程
表示雙曲線.
(1)若“
”為真命題，求實數
的取值范圍；
(2)若“
”為假命題，“
”為真命題，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】經銷商經銷某種農產品，在一個銷售季度內，每售出
該產品獲利潤500元，未售出的產品，每
虧損300元．根據歷史資料，得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直圖，如圖所示．經銷商為下一個銷售季度購進了
該農產品．以
（
）表示下一個銷售季度內的市場需求量， 
（單位：元）表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤．
（Ⅰ）將
表示為
的函數；
（Ⅱ）根據直方圖估計利潤
不少于57000元的概率．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】語文成績服從正態分布
，數學成績的頻率分布直方圖如下：
（Ⅰ）如果成績大于135的為特別優秀，這500名學生中本次考試語文、數學特別優秀的大約各多少人？（假設數學成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布的）
（Ⅱ）如果語文和數學兩科都特別優秀的共有6人，從（Ⅰ）中的這些同學中隨機抽取3人，設三人中兩科都特別優秀的有
人，求
的分布列和數學期望．
（附參考公式）若
，則
， 
．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“共享單車”的出現，為我們提供了一種新型的交通方式.某機構為了調查人們對此種交通方式的滿意度，從交通擁堵不嚴重的
城市和交通擁堵嚴重的
城市分別隨機調查了20個用戶，得到了一個用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖如圖：
（Ⅰ）根據莖葉圖，比較兩城市滿意度評分的平均值的大小及方差的大小（不要求具體解答過程，給出結論即可）；
（Ⅱ）若得分不低于80分，則認為該用戶對此種交通方式“認可”，否則認為該用戶對此種交通方式“不認同”，請根據此樣本完成此列聯表，并局此樣本分析是否有95%的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關；
（Ⅲ）若此樣本中的
城市和
城市各抽取1人，則在此2人中恰有一人認可的條件下，此人來自
城市的概率是多少？
|
| 合計 | |
認可 | |||
不認可 | |||
合計 |
附： 
| 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】“共享單車”的出現，為我們提供了一種新型的交通方式．某機構為了調查人們對此種交通方式的滿意度，從交通擁堵不嚴重的
城市和交通擁堵嚴重的
城市分別隨機調查了20個用戶，得到了一個用戶滿意度評分的樣本，并繪制出莖葉圖（如圖所示）：
若得分不低于80分，則認為該用戶對此種交通方式“認可”，否則認為該用戶對此種交通方式“不認可”，請根據此樣本完成此
列聯表，并據此樣本分析是否有
的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關：
|
| 合計 | |
認可 | |||
不認可 | |||
合計 |
附：參考數據：（參考公式：
）
| 0.150 | 0.100 | 0.050 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
為橢圓
的左焦點，且兩焦點與短軸的一個頂點構成一個等邊三角形，直線
與橢圓
有且僅有一個交點
.
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）設直線
與
軸交于
，過點
的直線與橢圓
交于兩不同點
， 
，若
，求實數
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】電視傳媒公司為了了解某地區電視觀眾對某類體育節目的收視情況，隨機抽取了
名觀眾進行調查，其中女性有
名.下面是根據調查結果繪制的觀眾日均收看該體育節目時間的頻率分布直方圖:
將日均收看該體育節目時間不低于
分鐘的觀眾稱“體育述”，已知“體育迷”中
名女性.
（1）根據已知條件完成下面的
列聯表，并據此資料你是否認為“體育迷”與性別有關？
非體育迷 | 體育迷 | 合計 | |
男 | |||
女 | |||
合計 |
（2）將日均收看該體育項目不低于
分鐘的觀眾稱為“超級體育迷”，已知“超級體育述”中有
名女性，若從“超級體育述”中任意選取
人,求至少有
名女性觀眾的概率.
附： 
，
|
|
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|
|
|
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