Question

 設雙曲線C：（a＞0，b＞0）的離心率為e，若直線l： x＝與兩條漸近線相交于P、Q兩點，F為右焦點，△FPQ為等邊三角形．

　（1）求雙曲線C的離心率e的值；

　（2）若雙曲線C被直線y＝ax＋b截得的弦長為，求雙曲線c的方程．

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：（1）雙曲線C的右準線l的方程為：x＝，兩條漸近線方程為：．

　　∴　兩交點坐標為　，、，．

　　∵　△PFQ為等邊三角形，則有（如圖）．

　　∴　，即．

　　解得　，c＝2a．∴　．……………………………………6分

　　（2）由（1）得雙曲線C的方程為把．

　　把代入得．

　　依題意　　∴　，且．

　　∴　雙曲線C被直線y＝ax＋b截得的弦長為

　　

　　

　　∵　．　∴　．

　　整理得　．

　　∴　或．

　　∴　雙曲線C的方程為：或．……………… 12分