Question

【題目】已知橢圓C： (＞b＞0)的離心率為，A(,0)， B(0，b)，O(0,0)，△OAB的面積為1.

(1)求橢圓C的方程；

(2)設P是橢圓C上一點，直線PA與y軸交于點M，直線PB與x軸交于點N.求證：|AN|·|BM|為定值．

Answer 1

【答案】(1) (2)見解析.

【解析】試題分析：

運用橢圓的離心率公式和三角形的面積公式，結合的關系，解方程可得,進而得到橢圓方程。

設橢圓上點可得,求出直線的方程，令求得,求出直線的方程，令求得，化簡整理，即可得到的定值

(1)解　由已知＝，ab＝1.

又a2＝b2＋c2，解得a＝2，b＝1，c＝.

∴橢圓方程為＋y2＝1.

(2)證明　由(1)知，A(2,0)，B(0,1)．

設橢圓上一點P(x0，y0)，則＋y＝1.

當x0≠0時，直線PA方程為y＝(x－2)，

令x＝0得yM＝.

從而|BM|＝|1－yM|＝.

直線PB方程為y＝x＋1.

令y＝0得xN＝.

∴|AN|＝|2－xN|＝.

∴|AN|·|BM|＝·

＝·

＝

＝＝4.

當x0＝0時，y0＝－1，|BM|＝2，|AN|＝2，

∴|AN|·|BM|＝4.

故|AN|·|BM|為定值．