Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是增函數(shù)還是減函數(shù)？證明你的結(jié)論；
（2）當(dāng)x＞0時， 恒成立，求整數(shù)k的最大值；
（3）試證明：（1+12）（1+23）（1+34）…（1+n（n+1））＞e2n﹣3 ．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題 ，

故f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)；

（2）解：當(dāng)x＞0時， 恒成立，即 在（0，+∞）上恒成立，

取 ，則 ，

再取g（x）=x﹣1﹣ln（x+1），則 ，

故g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，

而g（1）=﹣ln2＜0，g（2）=1﹣ln3＜0，g（3）=2﹣2ln2＞0，

故g（x）=0在（0，+∞）上存在唯一實(shí)數(shù)根a∈（2，3），a﹣1﹣ln（a+1）=0，

故x∈（0，a）時，g（x）＜0；x∈（a，+∞）時，g（x）＞0，

故 ，故kmax=3

（3）證明：由（2）知： ，∴

令 ，

又ln[（1+12）（1+23）（1+34）…（1+n（n+1））]=ln（1+1×2）+ln（1+2×3）+…+ln（1+n×（n+1）） =

即：（1+12）（1+23）（1+34）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3

【解析】（1）求導(dǎo)函數(shù)，確定導(dǎo)數(shù)的符號，即可得到結(jié)論；（2）當(dāng)x＞0時， 恒成立，即 在（0，+∞）上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最小值，即可求整數(shù)k的最大值；（3）由（2）知： ，從而令 ，即可證得結(jié)論．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性(一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減)，還要掌握不等式的證明(不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構(gòu)造法，函數(shù)單調(diào)性法，數(shù)學(xué)歸納法等)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵．