Question

已知f（x）=aln（x-1），g（x）=x²+bx，F（x）=f（x+1）-g（x），其中a，b∈R．
（Ⅰ）若y=f（x）與y=g（x）的圖象在交點（2，k）處的切線互相垂直，求a，b的值；
（Ⅱ）若x=2是函數F（x）的一個極值點，x₀和1是F（x）的兩個零點，且x₀∈（n，n+1）n∈N，求n；
（Ⅲ）當b=a-2時，若x₁，x₂是F（x）的兩個極值點，當|x₁-x₂|＞1時，求證：|F（x₁）-F（x）|＞3-4ln2．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據導數的幾何意義建立切線斜率之間的關系建立方程，求a，b的值；
（Ⅱ）根據導數和函數極值之間的關系建立方程，即可求n；
（Ⅲ）根據極值和函數之間的關系求函數的最值即可證明不等式．

解答：解：（I）f′(x)=

a

x-1

，g'（x）=2x+b…（1分）
由題知

f(2)=g(2) f′(2)•g′(2)=-1

，即

0=4+2b a(4+b)=-1

…（2分）
解得

a=- 1 2 b=-2

（II）F（x）=f（x+1）-g（x）=alnx-（x²+bx），F′(x)=

a

x

-2x-b
由題知

F′(2)=0 F(1)=0

，即

a 2 -4-b=0 1+b=0

解得a=6，b=-1…（6分）
∴F（x）=6lnx-（x²-x），F′(x)=

6

x

-2x+1=

-(2x+3)(x-2)

x

∵x＞0，由F'（x）＞0，解得0＜x＜2；由F'（x）＜0，解得x＞2
∴F（x）在（0，2）上單調遞增，在（2，+∞）單調遞減，
故F（x）至多有兩個零點，其中x₁∈（0，2），x₂∈（2，+∞）…（7分）
又F（2）＞F（1）=0，F（3）=6（ln3-1）＞0，F（4）=6（ln4-2）＜0
∴x₀∈（3，4），故n=3    …（9分）
（III）當b=a-2時，F（x）=alnx-[x²+（a-2）x]，F′(x)=

a

x

-2x-(a-2)=

-(2x+a)(x-1)

x

，
由題知F'（x）=0在（0，+∞）上有兩個不同根x₁，x₂，則a＜0且a≠-2，此時F'（x）=0的兩根為-

a

2

，1，…（10分）
由題知|-

a

2

-1|＞1，則

a2

4

+a+1＞1，a²+4a＞0
又∵a＜0，∴a＜-4，此時-

a

2

＞1
則F（x）與F'（x）隨x的變化情況如下表：

x	（0，1）	1	（1，- a 2 ）	- a 2	（- a 2 ，+∞）
F'（x）	-	0	+	0	-
F（x）		極小值		極大值

∴|F（x₁）-F（x）|=F（x）_極大值-F（x）_極小值=F（-

a

2

）-F（1）
=aln（-

a

2

）+

1

4

a²-1，…（11分）
設?(a)=aln(-

a

2

)+

1

4

a2-1，則?′(a)=ln(-

a

2

)+

1

2

a+1，?″(a)=

1

a

+

1

2

，
∵a＜-4，∴

1

a

＞-

1

4

，
∴?″(a)=

1

a

+

1

2

＞0，
∴?'（a）在（-∞，-4）上是增函數，?'（a）＜?'（-4）=ln2-1＜0
從而?（a）在（-∞，-4）上是減函數，∴?（a）＞?（-4）=3-4ln2
∴|F（x₁）-F（x）|＞3-4ln2．

點評：本題主要考查導數的應用，要求熟練掌握函數的性質和導數之間的關系，考查學生的運算能力．