Question

設F是拋物線G：x²=4y的焦點．
（Ⅰ）過點P（0，-4）作拋物線G的切線，求切線方程；
（Ⅱ）設A，B為拋物線G上異于原點的兩點，且滿足

FA

•

FB

=0，延長AF，BF分別交拋物線G于點C，D，求四邊形ABCD面積的最小值．

Answer 1

分析：（I）設出切點Q的坐標，對拋物線方程求導求得拋物線在Q點的切線斜率，表示出切線的方程把P點坐標代入求得x₀，則切線的方程可得．
（II）設出A，C的坐標和直線AC的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理表示出x₁+x₂和x₁+x₂，利用弦長公式表示出AC的長，根據AC⊥BD，表示出BD的方程，與拋物線方程聯立，利用弦長公式表示出BD的長，進而可表示出ABCD的面積，利用基本不等式求得其最小值．

解答：解：（I）設切點Q(x0，

x 2 0

4

)
　由y′=

x

2

，知拋物線在Q點處的切線斜率為

x0

2

，
故所求切線方程為y-

x 2 0

4

=

x0

2

(x-x0)
即y=

x0

2

x-

x 2 4

4

因為點P（0，-4）在切線上
所以-4=-

x 2 0

4

，x₀²=16，x₀=±4
所求切線方程為y=±2x-4
（II）設A（x₁，y₁），C（x₂，y₂）
由題意知，直線AC的斜率k存在，由對稱性，不妨設k＞0
因直線AC過焦點F（0，1），所以直線AC的方程為y=kx+1
點A，C的坐標滿足方程組

y=kx+1 x2=4y

得x²-4kx-4=0，
由根與系數的關系知

x1+x2=4k x1x2=-4.

|AC|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=4(1+k2)
因為AC⊥BD，所以BD的斜率為-

1

k

，從而BD的方程為y=-

1

k

x+1
同理可求得|BD|=4(1+(-

1

k

)2)=

4(1+k2)

k2

SABCD=

1

2

|AC||BD|=

8(1+k2)2

k2

=8(k2+2+

1

k2

)≥32
當k=1時，等號成立．　
所以，四邊形ABCD面積的最小值為32．

點評：本小題主要考查拋物線的方程與性質，拋物線的切點與焦點，向量的數量積，直線與拋物線的位置關系，平均不等式等基礎知識，考查綜合分析問題、解決問題的能力．