Question

設0＜b＜1+a，若關于x 的不等式（x-b）²＞（ax）²的解集中的整數恰有3個，則a的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：將不等式變形為[（a+1）x-b]•[（a-1）x+b]＜0的解集中的整數恰有3個，再由0＜b＜1+a 可得，a＞1，不等式的解集為 

-b

a-1

＜x＜

b

a+1

＜1，考查解集端點的范圍，解出a的取值范圍．

解答：解：關于x 的不等式（x-b）²＞（ax）²   即 （a²-1）x²+2bx-b²＜0，∵0＜b＜1+a，
[（a+1）x-b]•[（a-1）x+b]＜0 的解集中的整數恰有3個，∴a＞1，
∴不等式的解集為 

-b

a-1

＜x＜

b

a+1

＜1，所以解集里 的整數是-2，-1，0 三個
∴-3≤-

b

a-1

＜-2，
∴2＜

b

a-1

≤3，2a-2＜b≤3a-3，
∵b＜1+a，
∴2a-2＜1+a，
∴a＜3，
綜上，1＜a＜3，
故答案為1＜a＜3．

點評：本題考查一元二次不等式的應用，注意二次項系數的符號，解區間的端點就是對應一元二次方程的根．