Question

【題目】四邊形的頂點， ， ， ， 為坐標原點．

（）此四邊形是否有外接圓，若有，求出外接圓的方程；若沒有，請說明理由．

（）記的外接圓為，過上的點作圓的切線，設與軸、軸的正半軸分別交于點、，求面積的最小值．

Answer 1

【答案】（）外接圓方程為 （）

【解析】試題分析：

（1）先求出過三點的圓，通過驗證點D是否在此圓上來判斷四邊形是否有外接圓。（2）由（1）得的外接圓為的方程為，先求得，可得切線的斜率，切線方程為，整理得切線，然后求得點的坐標，求得，根據基本不等式可得，即為所求。

試題解析：

（）設過三點的外接圓為，圓心，半徑為，

則圓的標準方程為，

由題意得 ，解得

∴ 圓，

驗證可得點在圓上。

∴ 四邊形有外接圓，其方程為．

（）由（1）得的外接圓為的方程為。

由題意得，

∴ 切線的斜率，從而切線的方程為，

整理得，

又點在圓上，故，

∴ 切線，

令，得，∴ ，

令，得，∴ ，

∴ 面積，

∵ ，

∴ ，當且僅當時等號成立.

即面積的最小值為，此時點．