Question

A、B兩城相距30km，現計劃在兩城外以AB為直徑的半圓弧

AB

上選擇一點C建造垃圾處理廠，其對城A的影響度與廠址到城A的距離的平方成反比（比例系數k為正數），對城B的影響度也與廠址到城B的距離的平方成反比，且當廠址在弧

AB

的中點時，對城B的影響度是對城A的影響度的四倍，
（1）試將總影響度y（對兩城的影響度之和）表示成廠址到城A的距離x的函數；
（2）是否存在一點，使建在此處的垃圾處理廠對兩城的總影響度最小？若存在，求出該點到城A的距離；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意設出總影響度y與廠址到城A的距離x的函數關系，利用城A的比例系數k表示出城B的比例系數，確定出函數的解析式；
（2）利用導數作為工具求解該函數的最值，注意方程思想的運用．根據求解的導函數的零點討論出函數的單調性，進行作答．

解答：解：（1）根據題意∠ACB=90°，設AC=x，則BC=

900-x2

，因此x∈（0，30）
且建在C處的垃圾處理廠對城A的影響度為k，對城B的影響度為k′，
因此，總影響度y=

k

x2

+

k′

900-x2

，
 又因為垃圾處理廠建在弧AB的中點時，對城B的影響度是對城A的影響度的四倍，可得k′=4k，
所以y=

k

x2

+

4k

900-x2

，x∈（0，30）
（2）  由于y′=

-2k

x3

-

4k(-2x)

(900-x2)2

=

2k(4x4-(900-x2)2)

x3(900-x2)2

，
令y′=0，由于x∈（0，30），可以解出x=10

3

．
當x∈（0，10

3

）時y′＜0，y在x∈（0，10

3

）上單調遞減，
當x∈（10

3

，30）時y′＞0，y在x∈（10

3

，30）上單調遞增，
因此該函數在x=10

3

時取到最小值．
答：存在一點到城A的距離為10

3

km，使建在此處的垃圾處理廠對兩城的總影響度最小．

點評：本題主要考查了函數在實際問題中的應用，運用模型思想、待定系數法求解函數解析式的能力和運用導數法研究函數的單調性、最值等問題．