Question

A、B兩城相距100km，在兩地之間距A城xkm處D地建一核電站給A、B兩城供電，為保證城市安全．核電站距市距離不得少于10km．已知供電費(fèi)用與供電距離的平方和供電量之積成正比，比例系數(shù)λ=0.25．若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．
（Ⅰ）把月供電總費(fèi)用y表示成x的函數(shù)，并求定義域；
（Ⅱ）核電站建在距A城多遠(yuǎn)，才能使供電費(fèi)用最小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）A城供電費(fèi)用y₁=0.25×20x²，B城供電費(fèi)用y₂=0.25×10（100-x）²，總費(fèi)用y=y₁+y₂，整理即可；因?yàn)楹穗娬揪郃城xkm，則距B城（100-x）km，由x≥10，且100-x≥10，得x的范圍；
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)y=7.5x²-500x+25000是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，x=-

b

2a

時，函數(shù)y取得最小值．

解答：解：（Ⅰ）A城供電費(fèi)用為y₁=0.25×20x²，B城供電費(fèi)用y₂=0.25×10（100-x）²； 所以總費(fèi)用為：y=y₁+y₂=7.5x²-500x+25000（其中10≤x≤90）；
∵核電站距A城xkm，則距B城（100-x）km，∴x≥10，且100-x≥10，解得10≤x≤90； 所以x的取值范圍是{x|10≤x≤90}．
（Ⅱ）因?yàn)楹瘮?shù)y=7.5x²-500x+25000（其中10≤x≤90），當(dāng)x=-

-500

2×7.5

=

100

3

時，此函數(shù)取得最小值；
所以，核電站建在距A城

100

3

km處，能使A、B兩城月供電總費(fèi)用最小．

點(diǎn)評：本題考查了二次函數(shù)模型的應(yīng)用，二次函數(shù)求最值時，通常考慮是否取在對稱軸x=-

b

2a

處，屬于中檔題．