Question

【題目】如圖，在梯形中，，四邊形為矩形，平面平面.

（1）求證：平面；

（2）點在線段上運動，設平面與平面所成二面角為，試求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

試題分析：（1）證明線面垂直可以利用面面垂直進行證明，即若兩個平面垂直并且其中一個平面內的一條直線與兩個平面的交線操作時則直線與另一個平面垂直，即可證明線面垂直；（2）建立空間坐標系，根據坐標表示出兩個平面的法向量，結合向量的有關運算求出二面角的余弦的表達式，再利用函數的有關知識求出余弦的范圍.

試題解析：（1）證明：在梯形中，因為，所以，所以，

所以，所以.

因為平面平面，平面平面，

平面，所以平面.

（2）由（1）可建立分別以直線為軸，軸，軸的如圖所示的空間直角坐標系，

令，則，

∴，

設為平面的一個法向量，

由得，取，則，

∵是平面的一個法向量.

∴.

∵，∴當時，有最小值，當時，有最大值.

∴.