Question

如果一個凸多面體是n棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有______條，這些直線中共有f（n）對異面直線，則f（4）=______；f（n）=______．（答案用數(shù)字或n的解析式表示）

Answer 1

凸多面體是n棱錐，共有n+1個頂點，
所以可以分為兩類：側(cè)棱共有n條，
底面上的直線（包括底面的邊和對角線）

n(n-1)

2

條
兩類合起來共有

n(n+1)

2

條．
在這些直線中，每條側(cè)棱與底面上不過此側(cè)棱的端點直線異面，
底面上共有直線（包括底面的邊和對角線）

n(n-1)

2

條，其中不過某個頂點的有

(n-2)•(n-1)

2

=

n2-3n+2

2

條
所以，f（n）=

n(n2-3n+2)

2

，f（4）=12．
故答案為：

n(n+1)

2

，12，

n(n2-3n+2)

2

．