Question

如果一個凸多面體是n棱錐，那么這個凸多面體的所有頂點所確定的直線共有

 

條，這些直線中共有f（n）對異面直線，則f（4）=

 

；f（n）=

 

．（答案用數字或n的解析式表示）

Answer 1

分析：本題主要考查合情推理，以及經歷試值、猜想、驗證的推理能力．凸多面體是n棱錐，共有n+1個頂點，過頂點與底邊上每個頂點都可確定一條側棱所在的直線，過底面上任一點與底面上其它點均可確定一條直線（邊或對角線），綜合起來不難得到第一空的答案，因為底面上所有的直線均共面，故每條側棱與不過該頂點的其它直線都是異面直線．

解答：解：凸多面體是n棱錐，共有n+1個頂點，
所以可以分為兩類：側棱共有n條，
底面上的直線（包括底面的邊和對角線）

n(n-1)

2

條
兩類合起來共有

n(n+1)

2

條．
在這些直線中，每條側棱與底面上不過此側棱的端點直線異面，
底面上共有直線（包括底面的邊和對角線）

n(n-1)

2

條，其中不過某個頂點的有

(n-2)•(n-1)

2

=

n2-3n+2

2

條
所以，f（n）=

n(n2-3n+2)

2

，f（4）=12．
故答案為：

n(n+1)

2

，12，

n(n2-3n+2)

2

．

點評：一題多空是高考數學卷中填空題的一種新形式，結合合情推理出現一題多空，較好地再現了推理的過程．三空的問題環環相扣，難易程度十分合理，前兩空簡單易求，第三空難度有所增加，需要學生具備較高層次的數學思維能力．本題以組合計算為工具，考查了類比與歸納、探索與研究的創新能力．