Question

設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，值域?yàn)锽，如果存在函數(shù)x=g（t），使得函數(shù)y=f（g（t））的值域仍然是B，那么，稱函數(shù)x=g（t）是函數(shù)f（x）的一個(gè)等值域變換．
（1）判斷下列x=g（t）是不是f（x）的一個(gè)等值域變換？說明你的理由：（A）f（x）=2x+b，x∈R，x=t²-2t+3，t∈R；（B）f（x）=x²-x+1，x∈R，x=g（t）=2^t，t∈R；
（2）設(shè)f（x）=log₂x（x∈R⁺），g（t）=at²+2t+1，若x=g（t）是f（x）的一個(gè)等值域變換，求實(shí)數(shù)a的取值范圍，并指出x=g（t）的一個(gè)定義域；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，值域?yàn)锽，函數(shù)g（t）的定義域?yàn)镈₁，值域?yàn)锽₁，寫出x=g（t）是f（x）的一個(gè)等值域變換的充分非必要條件（不必證明），并舉例說明條件的不必要性．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意中等值域變換的定義，分別分析（A）、（B）是否符合其定義，即值域是否相同，可得答案；
（2）根據(jù)題意，易得f（x）的值域?yàn)镽，則g（t）=at²+2t+1能取到任意一個(gè)正數(shù)，分a=0與a≠0兩種情況討論，分析可得答案；
（3）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，值域?yàn)锽，函數(shù)g（t）的定義域?yàn)镈₁，值域?yàn)锽₁，舉例分析可得答案．
解答：解：（1）（A）：函數(shù)f（x）=2x+b，x∈R的值域?yàn)镽，
x=t²-2t+3=（t-1）²+2≥2，
y=f（g（t））=2[（t-1）²+2]+b≥4+b，
所以，x=g（t）不是f（x）的一個(gè)等值域變換；（2分）
（B）：，即f（x）的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123248487493918/SYS201310251232484874939019_DA/1.png">，
當(dāng)t∈R時(shí)，，即y=f（g（t））的值域仍為，
所以，x=g（t）是f（x）的一個(gè)等值域變換；（5分）
（2）根據(jù)題意，易得f（x）的值域?yàn)镽，因?yàn)閤=g（t）是f（x）的一個(gè)等值域變換，
所以，g（t）=at²+2t+1能取到任意一個(gè)正數(shù)，（6分）
1）當(dāng)a=0時(shí)，g（t）=2t+1是一次函數(shù)，；（8分）
2）當(dāng)a≠0時(shí)，g（t）=at²+2t+1是二次函數(shù)，，，（11分）
所以，a∈[0，1]，
當(dāng)a=0時(shí)，x=g（t）=2t+1的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123248487493918/SYS201310251232484874939019_DA/7.png">，
當(dāng)a∈（0，1]時(shí)，g（t）=at²+2t+1的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131025123248487493918/SYS201310251232484874939019_DA/8.png">；
（注：定義域不唯一）（13分）
（3）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镈，值域?yàn)锽，函數(shù)g（t）的定義域?yàn)镈₁，值域?yàn)锽₁，則x=g（t）是f（x）的一個(gè)等值域變換的充分非必要條件是“D=B₁”．（15分）
條件的不必要性的一個(gè)例子是．f（x）=x²，D=R，B=[0，+∞）g（t）=2^t-1，D₁=R，B₁=（-1，+∞）
此時(shí)D?B₁，但f（g（t））=（2^t-1）²的值域仍為B=[0，+∞），
即g（t）=2^t-1（x∈R）是f（x）=x²（x∈R）的一個(gè)等值域變換．（18分）
（反例不唯一）
點(diǎn)評(píng)：本題是新定義的類型，解題時(shí)注意認(rèn)真分析題意，準(zhǔn)確理解把握并運(yùn)用新定義解題．