Question

下列四個命題中，真命題的序號有

①③④

（寫出所有真命題的序號）．
①兩個相互垂直的平面，一個平面內的任意一直線必垂直于另一平面內的無數條直線．
②圓x²+y²+4x+2y+1=0與直線y=

1

2

x相交，所得弦長為2．
③若sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，則tanαcotβ=5．
④如圖，已知正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁，P為底面ABCD內一動點，P到平面AA₁D₁D的距離與到直線CC₁的距離相等，則P點的軌跡是拋物線的一部分．

Answer 1

分析：①利用面面垂直的性質判斷．②利用直線和圓的位置關系判斷．③利用兩角和差的正弦公式求值．④利用拋物線的定義判斷．

解答：解：①根據面面垂直的性質可知，兩個相互垂直的平面，一個平面內的任意一直線必垂直于另一平面內的無數條直線，所以①正確．
②圓的標準方程為（x+2）²+（y+1）²=4，圓心坐標為（-2，-1），半徑為2．
因為圓心在直線y=

1

2

x，所以直線與圓相交，相應的弦長為直徑4，所以②錯誤．
③由sin（α+β）=

1

2

，sin（α-β）=

1

3

，得

sinαcosβ+cosαsinβ= 1 2 sinαcosβ-cosαsinβ= 1 3

，
解得

sinαcosβ= 5 12 cosαsinβ= 1 12

，所以兩式相除得tanαcotβ=5，所以③正確．
④連結PC，則PC是點P到直線CC₁的距離，過P作PE垂直于直線AD，則PE到平面AA₁D₁D的距離為PE，
因為P到平面AA₁D₁D的距離與到直線CC₁的距離相等，所以PC=PE，滿足拋物線的定義，
 所以P點的軌跡是拋物線的一部分，所以④正確．
故正確的命題為①、③、④．
故答案為：①、③、④．

點評：本題主要考查命題的真假判斷，牽扯的知識點較多，綜合性較強．