Question

（本題滿分15分）
已知函數f (x )=ax ³ + x² + 2 ( a ≠ 0 ) ．
(Ⅰ) 試討論函數f (x )的單調性；
(Ⅱ) 若a>0，求函數f (x ) 在［1，2］上的最大值．

Answer 1

解： (1) ①當a>0時， f(x)在（-∞,0),上是減函數，在上是增函數.
②當a<0時， f(x)在（-∞, ),(0, +∞)上是增函數，在(,0)上是減函數.
(2)當0<<1時，f(x)的最大值為３－,
當1≤≤2時，f(x)的最大值為,
當>2時，f(x)的最大值為. 

本試題主要是考查了函數單調性和函數最值的求解的綜合運用。
（1）根據已知條件，對于參數a進行分類討論，判定單調性得到結論。
（2）在第一問的基礎上，進一步對于不同情況下的單調性分別研究得到最值。
選做題：（參加IB學習的學生必須做，不參加IB學習的學生原則上不要做）
題目：（本題滿分值為10分）
解： (1)  ∵f(x)=－ax³+x²+2(a≠0),∴= -ax²+2x.  
①當a>0時，令>0,即-ax²+2x>0,得0<x<.
∴f(x)在（-∞,0),上是減函數，在上是增函數. ………………4分
②當a<0時，令>0,即-ax²+2x>0,得x>0，或x<.
∴f(x)在（-∞, ),(0, +∞)上是增函數，在(,0)上是減函數.………………8分
(2)由（１）得：
①當0<<1,即a>2時,f(x）在（1，2）上是減函數,
∴f（x）_max=f（1）=３－.        ……………10分
②當1≤≤2,即1≤a≤2時，f(x)在上是增函數，在上是減函數，
∴f(x)_max=f=.                 ………12分
③當>2時，即0<<1時，f(x)在（1，2）上是增函數，
∴f（x）_max=f（2）=.      ……………14分
綜上所述，當0<<1時，f(x)的最大值為３－,
當1≤≤2時，f(x)的最大值為,
當>2時，f(x)的最大值為.  ………………15分