Question

已知等差數列{a_n}的首項a₁＝1，公差d＞0，且其第二項、第五項、第十四項分別是等比數列{b_n}的第二、三、四項．
（1）求數列{a_n}與{b_n}的通項公式；
（2）令數列{c_n}滿足：c_n＝，求數列{c_n}的前101項之和T₁₀₁；
（3）設數列{c_n}對任意n∈N*，均有＋＋…＋＝a_n+1成立，求c₁＋c₂＋…＋c₂₀₁₂的值．

Answer 1

（1）a_n＝2n－1．   b_n＝3^n-1           
（2）5151＋      
（3）c₁＋c₂＋…＋c₂₀₁₂＝3＋2×3＋2×3²＋…＋2×3²⁰¹¹＝3²⁰¹²．   

(1) 第二項、第五項、第十四項分別是等比數列{b_n}的第二、三、四項,可建立關于d,b₁,q的三個方程解方程組即可求解.
(2) 解本題關鍵是T₁₀₁＝(a₁＋a₃＋…＋a₁₀₁)＋(b₂＋b₄＋…＋b₁₀₀).然后分組求和即可.
(3)先根據＋＋…＋＝a_n+1，求出{}的通項公式，然后根據通項公式的特點采用數列求和的方法求和即可.
（1）由題意得：(a₁＋d)(a₁＋13d)＝(a₁＋4d)²         (d＞0)，
解得d＝2，∴a_n＝2n－1．       …………………………………………2分
∴b₂＝a₂＝3, b₃＝a₅＝9,∴b_n＝3^n-1 …………………………………………4分
（2）∵a₁₀₁＝201，b₂＝3
∴T₁₀₁＝(a₁＋a₃＋…＋a₁₀₁)＋(b₂＋b₄＋…＋b₁₀₀)＝＋
＝5151＋                     …………………10分
（3）當n≥2時，由＝＋＋…＋－(＋＋…＋)＝a_n+1－a_n＝2
得c_n＝2b_n＝2·3^n-1，
當n＝1時，c₁＝3．故c_n＝ ……………………………13分
故c₁＋c₂＋…＋c₂₀₁₂＝3＋2×3＋2×3²＋…＋2×3²⁰¹¹＝3²⁰¹²．