Question

已知函數f(x)=2x-

1

2|x|

．
（1）設集合A={x|f(x)≤

15

4

}，B={x|x²-6x+p＜0}，若A∩B≠∅，求實數p的取值范圍；
（2）若2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）解不等式f（x）≤

15

4

得到A，令g（x）=x²-6x+p，由A∩B≠∅，得g（2）＜0，解出即可；
（2）對不等式進行等價轉化，分離出參數m后，轉化為函數最值問題解決；

解答：解：（1）當x≥0時，f（x）≤

15

4

，即2x-

1

2x

≤

15

4

，解得0≤x≤2；
當x＜0時，f（x）≤

15

4

即0≤

15

4

成立，
綜上，f（x）≤

15

4

的解集為{x|x≤2}，即A=（-∞，2]．
設g（x）=x²-6x+p，
因為A∩B≠∅，所以g（2）＜0，即4-6×2+p＜0，解得p＜8，
所以實數p的取值范圍為：（-∞，8）．
（2）因為t∈[1，2]，所以f（t）=2t-

1

2t

，
2^tf（2t）+mf（t）≥0對于t∈[1，2]恒成立，即2t(22t-

1

22t

)+m(2t-

1

2t

)≥0恒成立，
即（2t-

1

2t

）（2^2t+1+m）≥0，
因為2^2t-1≥3，所以2^2t+1+m≥0恒成立，即m≥-（1+2^2t），
因為t∈[1，2]，所以-（1+2^2t）∈[-17，-5]，則m≥-5．
故實數m的取值范圍為[-5，+∞）．

點評：本題考查函數恒成立問題及不等式的求解、集合運算，具有一定綜合性，恒成立問題的常用解決方法是轉化為函數最值處理．