Question

【題目】已知點A是橢圓的上頂點，斜率為的直線交橢圓E于A、M兩點，點N在橢圓E上，且.

（1）當時，求的面積；

（2）當時，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）由題意可知點M、N的縱坐標相等，橫坐標互為相反數，且，設點，代入橢圓方程求出，利用三角形的面積公式即可求解.

（2）將直線與橢圓聯立，求出、，由可得，，令，利用導函數求出函數的單調區間，再利用零點存在性定理即可判斷出的取值范圍.

（1）由對稱性知點M、N的縱坐標相等，橫坐標互為相反數，且，

于是可以設點其中，于是，解得，

所以；

（2）據題意，直線，聯立橢圓E，

得：，即：，

則，那么，

同理，知：，

由，得：，即：，

令，則，

所以單調增，又，，

故存在唯一零點，即.