Question

【題目】已知函數.

（1）求在上的單調區間；

（2）當時，求不等式的解集；

（3）當時，設函數，求證：不等式在定義域上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）；（3）見解析

【解析】

（1）求出導函數，對a分類討論，解不等式即可得到單調區間；（2）借助（1）中的單調性，數形結合解不等式即可；（3）令：，求出其最小值為零即可.

（1）=0,則

①當即 此時

在上單調增；

②當 即

在，此時，

在上單調減；

在，此時，

在上單調增。

③當 即 此時 在上單調減。

綜上所述：

，在上單調增，

， 在上單調減，在上單調增

，在上單調減

（2）

此時的導數 在，，

在上單調減；

在，，

在上單調增。

當時，恒成立。

當時，，且為單調增函數，所以解集為

（畫出圖像，交代在時，即可）

（3）由題意知可令：

則有

又因為時有，時有，

即函數在

所以即有；得證