Question

【題目】在一張足夠大的紙板上截取一個(gè)面積為3600平方厘米的矩形紙板ABCD，然后在矩形紙板的四個(gè)角上切去邊長(zhǎng)相等的小正方形，再把它的邊沿虛線折起，做成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒（如圖）．設(shè)小正方形邊長(zhǎng)為x厘米，矩形紙板的兩邊AB，BC的長(zhǎng)分別為a厘米和b厘米，其中a≥b．
（1）當(dāng)a=90時(shí)，求紙盒側(cè)面積的最大值；
（2）試確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：因?yàn)榫匦渭埌錋BCD的面積為3600，故當(dāng)a=90時(shí)，b=40，

從而包裝盒子的側(cè)面積S=2×x（90﹣2x）+2×x（40﹣2x）=﹣8x2+260x，x∈（0，20）

因?yàn)镾=﹣8x2+260x=﹣8（x﹣16.25）2+2112.5，

故當(dāng)x=16.25時(shí)，側(cè)面積最大，最大值為2112.5平方厘米

（2）解：包裝盒子的體積V=（a﹣2x）（b﹣2x）x=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]，x∈（0， ），b≤60．

V=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]≤x（ab﹣4 x+4x2）=x（3600﹣240x+4x）

=4x3﹣240x2+3600x．

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=60時(shí)等號(hào)成立．

設(shè)f（x）=4x3﹣240x2+3600x，x∈（0，30）．則f′（x）=12（x﹣10）（x﹣30）．

于是當(dāng)0＜x＜10時(shí)，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上單調(diào)遞增；

當(dāng)10＜x＜30時(shí)，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上單調(diào)遞減．

因此當(dāng)x=10時(shí)，f（x）有最大值f（10）=16000，此時(shí)a=b=60，x=10．

答：當(dāng)a=b=60，x=10時(shí)紙盒的體積最大，最大值為16000立方厘米

【解析】（1）當(dāng)a=90時(shí)，b=40，求出側(cè)面積，利用配方法求紙盒側(cè)面積的最大值；（2）表示出體積，利用基本不等式，導(dǎo)數(shù)知識(shí)，即可確定a，b，x的值，使得紙盒的體積最大，并求出最大值．