Question

已知函數f（x）=ax²-|x-a|
（1）當a=3時，求不等式f（x）＞7的解集
（2）當a＞0時，求函數f（x）在區間[3，+∞）上的值域．

Answer 1

分析：（1）當a=3時，求不等式即 3x²-|x-3|＞7，故有①

x≥3 3x2-x+3＞7

，或②

x＜3 3x2+x-3＞7

．分別求得解①和②的解集，再取并集，即得所求．
（2）根據函數f（x）=ax²-|x-a|=

ax2-x+a ， x≥a ax2+x-a ，x＜a

．分①a≤3 和②a＞3，兩種情況，分別根據函數f（x）的單調性求得函數的最小值，綜合可得結論．

解答：解：（1）當a=3時，求不等式f（x）＞7，即 3x²-|x-3|＞7，∴①

x≥3 3x2-x+3＞7

，或②

x＜3 3x2+x-3＞7

．
解①求得x≥3，解②求得 x＜-2，或

5

3

＜x＜3．
綜上，不等式的解集為{x|x＜-2，或x＞

5

3

}．
（2）∵a＞0時，函數f（x）=ax²-|x-a|=

ax2-x+a ， x≥a ax2+x-a ，x＜a

．
①若a≤3，則f（x）=ax²-x+a，當對稱軸x=

1

2a

≤3，即

1

6

≤a≤3 時，
函數f（x）在[3，+∞）上是增函數，故最小值為f（3）=10a-3．
當對稱軸x=

1

2a

＞3，即 0＜a＜

1

6

時，函數f（x）在（3，

1

2a

）上是減函數，
在（

1

2a

，+∞）上是增函數，故函數的最小值為f（

1

2a

）=a-

1

4a

．
②若a＞3，當3≤x＜a時，則f（x）=ax²+x-a，由于對稱軸x=-

1

2a

＜0，故函數f（x）在[3，a）上是增函數，函數的最小值為f（3）=8a+3．
當x≥a時，由于對稱軸x=-

1

2a

＜0，故函數f（x）在[a，+∞）上是增函數，函數的最小值為f（a）=8a+3．
綜上可得，當0＜a＜

1

6

時，f（x）的值域為[a-

1

4a

，+∞）；
當

1

6

≤a＜3 時，f（x）的值域為[10a-3，+∞）；
當3＜a時，f（x）的值域為[8a+3，+∞）．

點評：本題主要考查帶有絕對值的函數，絕對值不等式的解法，體現了分類討論的數學思想，屬于中檔題．