Question

若雙曲線x²-y²=a²（a＞0）的左、右頂點分別為A、B，點P是第一象限內雙曲線上的點．若直線PA、PB的傾斜角分別為α，β，且β=mα（m＞1），那么α的值是（　　）

• A．

  π

  2m-1

• B．

  π

  2m

• C．

  π

  2m+1

• D．

  π

  2m+2

Answer 1

分析：設P（m，n），得直線PA、PB的斜率K_PA和K_PB滿足：K_PA•K_PB=

n2

m 2-a2

．由點P是雙曲線x²-y²=a²上的點，得n²=m²-a²，整理得K_PA•K_PB=1．由斜率與傾斜角的關系，得tanα•tanβ=1，結合三角函數誘導公式，得α+β=

π

2

，最后根據β=mα化簡整理，即可得到本題的答案．

解答：解：∵雙曲線方程為x²-y²=a²，即

x2

a2

-

y2

a2

=1（a＞0）
∴雙曲線的左頂點為A（-a，0），右頂點為B（a，0）
設P（m，n），得
直線PA的斜率為K_PA=

n

m+a

；直線PB的斜率為K_PB=

n

m-a

∴K_PA•K_PB=

n2

m 2-a2

…（1）
∵P（m，n）是雙曲線x²-y²=a²上的點
∴m²-n²=a²，得n²=m²-a²，代入（1）式得K_PA•K_PB=1
∵直線PA、PB的傾斜角分別為α，β，得tanα=K_PA，tanβ=K_PB，
∴tanα•tanβ=1，
∵P是第一象限內雙曲線上的點，得α、β均為銳角
∴α+β=（m+1）α=

π

2

，解之得α=

π

2m+2

故選：D

點評：本題給出等軸雙曲線上一點P，求P與兩個頂點連線的傾斜角之間的一個關系式，著重考查了直線的斜率、三角函數公式和雙曲線的簡單幾何性質等知識，屬于中檔題．