Question

【題目】已知橢圓過點，且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成等腰直角三角形.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）過的直線交橢圓于，兩點，試問：是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過點？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在一個定點滿足條件.

【解析】

（Ⅰ）根據題意，分析可得，可以將橢圓的方程設為，將點的坐標代入方程，計算可得的值，即可得答案；
（Ⅱ）根據題意，按直線的位置關系分2種情況討論，當與軸垂直時，易得結論，當與軸不垂直時，設出直線的方程，與橢圓的方程聯立，結合根與系數的關系，分析可得結論，綜合2種情況即可得答案．

（Ⅰ）解：因為橢圓的兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成等腰直角三角形，

所以.所以橢圓的方程為.

又橢圓經過點，代入橢圓方程得.

所以. 故所求橢圓方程為.

（Ⅱ）解：由已知動直線過點.

當與軸平行時，以為直徑的圓的方程為；

當與軸重合時，以為直徑的圓的方程為.

所以兩圓相切于點，即兩圓只有一個公共點.

因此，所求點如果存在，只能是點.

以下證明以為直徑的圓恒過點：

當與軸垂直時，以為直徑的圓過點；

當與軸不垂直時，設.

由 得.

由在橢圓內部知成立.

設，則.

又，，

所以

.

所以，即以為直徑的圓恒過點.

所以存在一個定點滿足條件.