Question

（2012•成都模擬）設函數f（x）=-

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x3+2ax²-3a²x+b（常數a，b滿足0＜a＜1，b∈R）．
（1）求函數f（x）的單調區間和極值；
（2）若對任意的x∈[a+1，a+2]，不等式|f'（x）|≤a恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導函數，令導數大于0，可得函數的單調增區間；令導數小于0，可得函數的單調減區間，從而可得函數的極值；
（2）將條件轉化為不等式，利用函數的單調性確定函數的最值，進而可得不等式組，由此可求a的取值范圍．

解答：解：（1）求導函數可得f′（x）=-x²+4ax-3a²，令f′（x）＞0，得f（x）的單調遞增區間為（a，3a）．
令f′（x）＜0，得f（x）的單調遞減區間為（-∞，a）和 （3a，+∞）；
∴當x=a時，f（x）極小值=-

4

3

a3+b；當x=3a時，f（x）極大值=b．
（2）由|f′（x）|≤a，得-a≤-x²+4ax-3a²≤a．①
∵0＜a＜1，∴a+1＞2a．
∴f′（x）=-x²+4ax-3a²在[a+1，a+2]上是減函數．
∴f′（x）_max=f′（a+1）=2a-1，f′（x）_min=f（a+2）=4a-4．
于是，對任意x∈[a+1，a+2]，不等式①恒成立等價于

-a≤4a-4 a≥2a-1

　　　解得

4

5

≤a≤1
又0＜a＜1，∴

4

5

≤a＜1

點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與極值，考查函數的最值，考查恒成立問題，正確運用函數的單調性是解題的關鍵．