Question

【題目】為了回饋顧客，某商場在元旦期間舉行購物抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為 ，中獎可以獲得3分；方案乙的中獎率為 ，中獎可以獲得2分；未中獎則不得分，每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，抽獎結束后憑分數兌換獎品．
（1）若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X≥3的概率；
（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，分別求兩種方案下小明、小紅累計得分的分布列，并指出為了累計得分較大，兩種方案下他們選擇何種方案較好，并給出理由？

Answer 1

【答案】
（1）解：由已知得小明中獎的概率為 ，小紅中獎的概率為 ，且兩人中獎與否互不影響，

記“這兩人的累計得分X≥3”的事件為A，則事件A包含“X=3”、“X=5”2個互斥的事件，

∴X≥3的概率P（X≥3）=P（X=3）+P（X=5）= =

（2）解：設小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1，則X1的所有可能的取值為0，3，6，

則X1的分布列為：

X1	0	3	6
P

E（X1）= = ．

都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2，則X2的所有可能取值為0，2，4，

則X2的分布列為：

X2	0	2	4
P

E（X2）= =3，

∵E（X1）＞E（X2），∴他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數學期望較大

【解析】（1）由已知得小明中獎的概率為 ，小紅中獎的概率為 ，且兩人中獎與否互不影響，記“這兩人的累計得分X≥3”的事件為A，則事件A包含“X=3”、“X=5”2個互斥的事件，由此能求出X≥3的概率．（2）設小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X1，則X1的所有可能的取值為0，3，6，求出X1的分布列和E（X1）；都選擇方案乙所獲得的累計得分為X2，則X2的所有可能取值為0，2，4，求出X2的分布列和E（X2），從而得到E（X1）＞E（X2），進而得到他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數學期望較大．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用離散型隨機變量及其分布列的相關知識可以得問題的答案，需要掌握在射擊、產品檢驗等例子中，對于隨機變量X可能取的值，我們可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量．離散型隨機變量的分布列：一般的,設離散型隨機變量X可能取的值為x1,x2,.....,xi,......,xn，X取每一個值 xi(i=1,2,......）的概率P(ξ=xi）＝Pi，則稱表為離散型隨機變量X 的概率分布，簡稱分布列．