Question

已知函數f（x）=ax-2lnx，a∈R
（Ⅰ）求函數f（x）的極值；
（Ⅱ）對于曲線上的不同兩點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），如果存在曲線上的點Q（x₀，y₀），且x₁＜x₀＜x₂，使得曲線在點Q處的切線l∥P₁P₂，則稱l為弦P₁P₂的伴隨切線．當a=2時，已知兩點A（1，f（1）），B（e，f（e）），試求弦AB的伴隨切線l的方程；
（Ⅲ）設g(x)=

a+2e

x

   (a＞0)，若在[1，e]上至少存在一個x₀，使得f（x₀）＞g（x₀）成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）首先對函數求導，使得導函數等于0，解出x的值，分兩種情況討論：當f′（x）＞0，即x＞2，或x＜-2時；當f′（x）＜0，即-2＜x＜2時，列表做出函數的極值點，求出極值．
（II）設出切點坐標，根據坐標表示出切線的斜率，然后把切點的橫坐標代入到曲線的導函數中得到切線的斜率，根據伴隨切線的含義寫出弦AB的伴隨切線l的方程即可；
（Ⅲ）本命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，設F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-

a+2e

x

，利用導數求出其最大值，從而得出a的取值范圍．

解答：解：（I）f′(x)=a-

2

x

，x＞0．
當a≤0時，f'（x）＜0，函數f（x）在（0，+∞）內是減函數，∴函數f（x）沒有極值．
當a＞0時，令f'（x）=0，得x=

2

a

．
當x變化時，f'（x）與f（x）變化情況如下表：

x	(0， 2 a )	2 a	( 2 a ，+∞)
f'（x）	-	0	+
f（x）	單調遞減	極小值	單調遞增

∴當x=

2

a

時，f（x）取得極小值f(

2

a

)=2-2ln

2

a

．
綜上，當a≤0時，f（x）沒有極值；
當a＞0時，f（x）的極小值為2-2ln

2

a

，沒有極小值．
（Ⅱ）當a=2時，設切點Q（x₀，y₀），則切線l的斜率為f′(x0)=2-

2

x0

，x0∈(1，e)．
弦AB的斜率為kAB=

f(e)-f(1)

e-1

=

2(e-1)-2(1-0)

e-1

=2-

2

e-1

．
由已知得，l∥AB，則2-

2

x0

=2-

2

e-1

，解得x₀=e-1，
所以，弦AB的伴隨切線l的方程為：y=

2e-4

e-1

x+2-2ln(e-1)．
（Ⅲ）本命題等價于f（x）-g（x）＞0在[1，e]上有解，
設F（x）=f（x）-g（x）=ax-2lnx-

a+2e

x

，F'（x）=a-

2

x

+

a+2e

x2

=

ax2-2x+a+2e

x2

=

ax2+a+2(e-x)

x2

＞0，
所以F（x）為增函數，F（x）_max=F（e）．
依題意需F（e）＞0，解得a＞

4e

e2-1

．
所以a的取值范圍是(

4e

e2-1

，+∞)．

點評：本題考查利用導數研究曲線上某點切線方程、函數極值的求法，本題解題的關鍵是對函數求導，求出導函數等于0時對應的變量的取值，再進行討論，本題是一個中檔題目，這個知識點一般出現在綜合題目中．