Question

已知中心在原點的雙曲線的一個焦點是，一條漸近線的方程是.
（1）求雙曲線的方程；（2）若以為斜率的直線與雙曲線相交于兩個不同的點，且線段的垂直平分線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）先設出雙曲線方程，再將焦點是，一條漸近線的方程是代入解出相關參數，即得雙曲線的方程為；（2）先將直線方程設出，再與雙曲線方程聯立，得到的方程根的判別式.再由根與系數的關系得出中點坐標的表達式，從而得到線段的垂直平分線的方程.將其與與兩坐標軸的交點找出，由與兩坐標軸圍成的三角形的面積為得到，代入根的判別式中可得到關于的不等式.,解得或，從而得到的取值范圍.
試題解析：（1）設雙曲線的方程為，
由題設得解得，   所以雙曲線的方程為；
（2）解：設直線的方程為，點，的坐標滿足方程組，將①式代入②式，得，
整理得，
此方程有兩個不等實根，于是，且，
整理得......③
由根與系數的關系可知線段的中點坐標滿足
，，
從而線段的垂直平分線的方程為，
此直線與軸，軸的交點坐標分別為，，
由題設可得，整理得，，
將上式代入③式得，
整理得，，解得或，
所以的取值范圍是.
考點：1.雙曲線的幾何性質；2.直線與圓錐曲線的位置關系；3.解不等式.