Question

【題目】已知橢圓，拋物線的焦點(diǎn)均在軸上， 的中心和的頂點(diǎn)均為原點(diǎn)，從每條曲線上各取兩個(gè)點(diǎn)，其坐標(biāo)分別是， ， ， ．

（1）求， 的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）是否存在直線滿足條件：①過的焦點(diǎn)；②與交于不同的兩點(diǎn)且滿足？若存在，求出直線方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ； 的標(biāo)準(zhǔn)方程為 ；（Ⅱ）見解析.

【解析】試題分析：（1）設(shè)拋物線，則有，據(jù)此驗(yàn)證四個(gè)點(diǎn)即可求解（2）首先假設(shè)存在直線滿足條件，利用向量垂直時(shí)求出直線參數(shù)k即得結(jié)論

試題解析：

（Ⅰ）設(shè)拋物線，則有，

據(jù)此驗(yàn)證四個(gè)點(diǎn)知， 在拋物線上，

易得，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

設(shè)橢圓，把點(diǎn)， 代入可得

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（Ⅱ）由橢圓的對(duì)稱性可設(shè)的焦點(diǎn)為F（1，0），

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為

直線l交橢圓于點(diǎn)

，不滿足題意

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)直線l的方程為， 并設(shè)

由，消去y得， ，

于是

①，

由得 ②

將①代入②式，得，解得

所以存在直線l滿足條件，且l的方程為或