Question

已知函數y=2x³-3x²-12x+8．
（Ⅰ）求函數在x=1處的切線方程；
（Ⅱ）求函數在區間[-2，3]上的最大值和最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）將x=1代入函數解析式得y=-5---------------------------------（2分）
y'=6x²-6x-12，所以y'|_x=1=-12----------------------------------（4分）
由直線方程的點斜式得y+5=-12（x-1）
所以函數在x=1處的切線方程為12x+y-7=0----------------------------------（6分）
（Ⅱ）y'=6x²-6x-12=6（x-2）（x+1）=0，
解得x=2或x=-1------------------------（8分）
由于f（-2）=4，f（-1）=15，f（2）=-12，f（3）=-1-------------------------------（10分）
∴y_max=15，y_min=-12------------------------------（12分）
分析：（I）利用切線的斜率是函數在切點處導數，求出切線斜率，再利用直線方程的點斜式求出切線方程．
（II）先求導函數，確定函數在閉區間[-2，3]上的極值點及端點的值，進而計算極值點及端點的函數值可確定函數的最值．
點評：本題以函數為載體，考查函數導數的幾何意義、利用導數求閉區間上函數的最值，解題的關鍵是利用導數工具．屬于導數的基礎題．