Question

 已知二次函數滿足以下兩個條件：

①不等式的解集是（-2，0）   ②函數在上的最小值是3 

（Ⅰ）求的解析式；

 （Ⅱ）若點在函數的圖象上，且

（ⅰ）求證：數列為等比數列

（ⅱ）令，是否存在整數使得數列取到最小值？若有，請求出的值；沒有，請說明理由。

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）∵ f（x）< 0 的解集為（-2，0），且f（x）是二次函數

       ∴ 可設  f（x）= a x（x + 2） （a > 0），故 f（x）的對稱軸為直線 ，

       ∴  f（x）在 [1，2]上的最小值為f（1）=3a =3 ，

       ∴ a = 1 ，所以f（x）= x ² + 2 x  .

（Ⅱ）（ⅰ）∵ 點（a _n , a _{n + 1} ）在函數f（x）= x ² + 2 x 的圖象上

           ∴ a _{n + 1}  = a _n ² + 2 a _n  ,  則 1 + a _{n + 1}  = 1 + a _n ² + 2 a _n = （1 + a _n）² 

           ∴ , 又首項

           ∴ 數列 為等比數列，且公比為2 。

（ⅱ）由上題可知，，

時，有， 時，有

故只須比較與，而，所以當時，數列取到最小值。