Question

【題目】已知函數.

（1）如是函數的極值點，求實數的值并討論的單調性；

（2）若是函數的極值點，且恒成立，求實數的取值范圍（注：已知常數滿足）.

Answer 1

【答案】（1），在上單調遞減，在上單調遞增；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由是函數的極值點，得可得得值，由導數和單調性的關系得其單調區間；（2）由題意知，設，知得單調遞增，即是在上的唯一零點，得，，使得即可，結合，得參數范圍.

試題解析：（1）∵是函數的極值點，∴.

∴，.

令，，

∴在上單調遞增，，.

∴當，；當，.

∴在上單調遞減，在上單調遞增，

此時，當時，取極小值.

（2），設，

則.∴在上單調遞增，

∴在上單調遞增.

∵是函數的極值點，

∴是在上的唯一零點，

∴.

∵，，

，，

∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴有最小值.

∴.

∵恒成立，

∴，∴，

∴.∵，∴，

∴，

.