Question

給出如下兩個命題：
命題p：f（x）=

1-x

3

，且|f（a）|＜2
命題q：集合A={x|x²+（a+2）x+1=0}，B={x|x＞0}，且A∩B=φ．
求實數a的取值范圍，使命題p，q中至少有一個為真命題．

Answer 1

分析：依題意，可求得命題p：-5＜a＜7；命題q為：a＞-4；依題意，命題p，q中至少有一個為真命題?①若p真q假或②若p假q真或③若p真q真，分別解之，最后取其并集即可．

解答：解：命題p中|f（a）|＜2，即|

1-a

3

|＜2，化簡得，-5＜a＜7；        …（2分）
命題q中A∩B=φ，即方程x²+（a+2）x+1=0沒有正實根，
則△=（a+2）²-4＜0，解得-4＜a＜0；或

△≥0 -(a+2)＜0

，解得a≥0，
∴命題q可化簡為a＞-4．…（5分）
①若p真q假，則-5＜a≤-4，即a∈（-5，-4]；                  …（7分）
②若p假q真，則a≥7，即a∈[7，+∞]；                          …（9分）
③若p真q真，則-4＜a＜7，即a∈（-4，7）．…（11分）（-5，-4]∪[7，+∞]∪（-4，7）=（-5，+∞）．…（13分）
綜上可知，當a∈（-5，+∞）時，命題p，q中至少有一個為真命題．…（14分）

點評：本題考查命題的真假判斷與應用，著重考查等價轉化思想與分類討論思想的綜合應用，求得命題p：-5＜a＜7與命題q：a＞-4是關鍵，也是難點，屬于難題．