Question

.（本題滿分12分）

給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點，半徑為的圓是橢圓的“伴隨圓”．若橢圓的一個焦點為，其短軸上的一個端點到的距離為．

（1）求橢圓的方程及其“伴隨圓”方程；

（2）若傾斜角為的直線與橢圓C只有一個公共點，且與橢圓的“伴隨圓”相交于M、N兩點，求弦MN的長；

（3）點是橢圓的“伴隨圓”上的一個動點，過點作直線，使得與橢圓都只有一個公共點，求證：。

 

Answer 1

【答案】

 

（1）因為，所以

所以橢圓的方程為，伴隨圓方程……………2分

（2）設直線的方程，由得 

由   得  

圓心到直線的距離為所以………………………………………6分

（3）①當中有一條無斜率時，不妨設無斜率，

因為與橢圓只有一個公共點，則其方程為或，

 當方程為時，此時與伴隨圓交于點

此時經過點（或且與橢圓只有一個公共點的直線是

(或，即為(或，顯然直線垂直；

同理可證方程為時，直線垂直……………………7分

②當都有斜率時，設點其中，

設經過點與橢圓只有一個公共點的直線為，

由，消去得到，

即，……………8分

，

經過化簡得到：，

因為，所以有，…………………………10分

設的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點，

所以滿足方程，

因而，即垂直.………………………………………………12分

 

【解析】略