Question

關于函數f（x）=lg

x

x2+1

，有下列結論：①函數f（x）的定義域是（0，+∞）；②函數f（x）是奇函數；③函數f（x）的最小值為-lg2；④當0＜x＜1時，函數f（x）是增函數；當x＞1時，函數f（x）是減函數．
其中所有正確結論的序號是（　　）

• A、①②③
• B、①③④
• C、①④
• D、②③

Answer 1

分析：①函數f（x）的定義域是（0，+∞），求出定義域驗證；②函數f（x）是奇函數，利用奇函數的定義進行判斷；③函數f（x）的最小值為-lg2，利用基本不等式與對數的運算性質求出最值；④當0＜x＜1時，函數f（x）是增函數；當x＞1時，函數f（x）是減函數，求出導數，解出單調區間，驗證即可．

解答：解：①函數f（x）的定義域是（0，+∞），令

x

x2+1

＞0，解得x＞0，故定義域是（0，+∞），命題正確；
②函數f（x）是奇函數，由①知，定義域不關于原點對稱，故不是奇函數，命題不正確；
③函數f（x）的最小值為-lg2，不正確，因為f(x)=lg

x

x2+1

=lg

1

x+ 1 x

≤lg

1

2

=-lg2，最大值是-lg2，故命題不正確；
④當0＜x＜1時，函數f（x）是增函數；當x＞1時，函數f（x）是減函數，命題正確，因為f′(x)=lg

1-x2

(x2+1)2

，令導數大于0，可解得0＜x＜1，令導數大于0，得x＞1，故命題正確．
綜上，①④正確
故選C．

點評：本題考查對數函數的單調性與特殊點解題的關鍵是熟練掌握對數的性質，且能熟練利用這些性質對四個命題作出判斷，本題考查了推理論證的能力以及計算論證的能力．