Question

已知函數f（x）=-

1

3

x3+x2+(m2-1)x，（x∈R），其中m＞0
（Ⅰ）當m=2時，求曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線的方程；
（Ⅱ）若f（x）在（

3

2

，+∞）上存在單調遞增區間，求m的取值范圍
（Ⅲ）已知函數f（x）有三個互不相同的零點0，x₁，x₂且x₁＜x₂，若對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立．求m的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數研究函數的單調性,利用導數研究曲線上某點切線方程

專題：導數的概念及應用

分析：（Ⅰ）當m=2時，f（x）=

1

3

x³+x²+3x，通過求導得出斜率k的值，從而求出切線方程；
（Ⅱ）只需f′（

3

2

）＞0即可，解不等式求出即可；
（Ⅲ）由題設可得f(x)=x(-

1

3

x2+x+m2-1)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)，由判別式△＞0，求出m的范圍，對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是f(1)=m2-

1

3

＜0，從而綜合得出m的取值范圍．

解答： 解：（Ⅰ）當m=2時，f（x）=

1

3

x³+x²+3x，
∴f′（x）=-x²+2x+3，
故k=f′（3）=0，
又∵f（3）=9，
∴曲線y=f（x）在點（3，f（3））處的切線方程為：y=9，
（Ⅱ）若f（x）在（

3

2

，+∞）上存在單調遞增區間，
即存在某個子區間（a，b）?（

3

2

，+∞）使得f′（x）＞0，
∴只需f′（

3

2

）＞0即可，
f′（x）=-x²+2x+m²-1，
由f′（

3

2

）＞0解得m＜-

1

2

或m＞

1

2

，
由于m＞0，∴m＞

1

2

．
（Ⅲ）由題設可得f(x)=x(-

1

3

x2+x+m2-1)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)，
∴方程-

1

3

x2+x+m2-1=0有兩個相異的實根x₁，x₂，
故x₁+x₂=3，且△=1+

4

3

(m2-1)＞0
解得：m＜-

1

2

（舍去）或m＞

1

2

，
∵x₁＜x₂，所以2x₂＞x₁+x₂=3，∴x2＞

3

2

＞1，
若 x₁≤1＜x₂，
則f(1)=-

1

3

(1-x1)(1-x2)≥0，
而f（x₁）=0，不合題意．
若1＜x₁＜x₂，對任意的x∈[x₁，x₂]，
有x＞0，x-x₁≥0，x-x₂≤0，
則f(x)=-

1

3

x(x-x1)(x-x2)≥0，
又f（x₁）=0，所以 f（x）在[x₁，x₂]上的最小值為0，
于是對任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）＞f（1）恒成立的充要條件是f(1)=m2-

1

3

＜0，
解得-

3

3

＜m＜

3

3

；     
綜上，m的取值范圍是(

1

2

，

3

3

)．

點評：本題考察了函數的單調性，導數的應用，求切線的方程，解不等式，本題是一道綜合題．